计算机二进制补码

大学的老师告诉我们: “正数的原码、反码、补码是一样的, 负数的补码是原码除符号位外，其余各位取反再加1。”

但是实际上，补码仅仅是一种编码，好处是可以用加法来实现减法的操作，和原码、反码没啥太大的关系，口诀只是为了人类计算方便

二进制

在十进制中，可以用 $0\sim9$ 来表示有一数，16 记为 16，权重为 $10^n$

16 表示  $1 * 10^1 + 6 * 10^0 = 16$

在16进制中，可以用$0\sim F$ 来表示一个数，16 记为 0x10，权重为 $16^n$

0x10 表示 $1 * 16^1 + 0 * 16^0 = 16_{[10]}$

在二进制中，只能用  $0, 1$ 来表示一个数，那么 16 就记为10000 ， 权重是 $2^n$

10000 表示 $1 *2^4 + 0 * 2^3 + 0 *2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 16_{[10]}$

于是我们就有了一个新的计数方法，二进制:

十进制	二进制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

加法

但是光有计数还不够，我们还需要有计算，二进制中封二进一，假如我们自己实现了一个全加器：

$010_{[2]} + 100_{[2]} = 110_{[2]} = 6_{[10]}$

$011_{[2]} + 001_{[2]} = 100_{[2]} = 4_{[10]}$

减法

有了加法器，那还得有一个减法器，假如我们又自己实现了减法器（现代计算机没有减法器，暂时先忘掉这个，后面我会讲怎么用加法实现减法）：

$001_{[2]} - 101_{[2]} = -100_{[2]} = -4_{[10]}$

没啥问题，但是出现了一个负数。可以计算机中只有 1 和 0 ，没有我们日常使用的 +,-号，怎么去表示负数

负数

正如我们数学中约定的 +和 -来表示一个数的正负一样，于是我们决定使用其中的一个符号来表示符号的 + 和 - ，那就用最高位来表示吧。0 表示正，1 表示负

十进制	二进制【使用正负号】	二进制【使用0、1代表正负号】
+0	+00	000
+1	+01	001
+2	+10	010
+3	+11	011
-0	- 00	100
-1	- 01	101
-2	- 10	110
-3	- 11	111

现在我们的可计数示范围由 $0 \sim 7$ 变成了 $-3 \sim +3$

注意：区别与网上其他说法，最高位是符号位，表示的是正和负没错，但是我们现在有减法器，计算的时候符号位可以特殊处理，也请先忘掉加法实现减法的结论

假如计算机有+,-号，先我们的减法器验证一下：

$$\begin{aligned} & 1-3 \ & = (+01) - (+11) \ & =(+01_{[2]}) - (+11_{[2]}) \ & = -|11_{[2]}-01_{[2]}| \ & = -10_{[2]} \ & = -2_{[10]} \ \end{aligned}$$

此时用我们约定的符号来替换正负号， 负号换成 1 ，正号换成 0

$$\begin{aligned} & (001_{[2]}) - (011_{[2]}) \ & = -|11_{[2]}-01_{[2]}| \ & = -10_{[2]} = 110_{[2]} \ & = -2_{[10]} \end{aligned}$$

我们知道 $X - Y = X + (-Y)$， 所以上面的运算等价 ：

$$\begin{aligned} & (001_{[2]}) - (011_{[2]}) \ & = 001_{[2]} + 111_{[2]} \ & = -|11_{[2]} - 01_{[2]}| \ & = 110_{[2]} \ & = -2_{[10]} \ \end{aligned}$$

注意我们有减法器，这里我们的最高位此时是符号位，符号会被提出来，并不会参与运算

再次注意：区别与网上其他说法，最高位是符号位，表示的是正和负，我们现在有减法器，计算的时候符号位可以特殊处理，也请先忘掉加法实现减法的结论

比如我们十进制计算 1 - 3 = 1 + (-3)， 当一个较小数减去一个较大数的时候， 我们一般步骤是用大数减去小数取绝对值，然后结果取其相反数

例如我们平时计算 1- 3 = 1 + (-3):

$$\begin{aligned} & 1 - 3 \ & = 1 + (-3) \ & = - | 3 -1 | \ & = - |2| \ & = -2 \end{aligned}$$

那么二进制减法器也一样的，最高位的符号位也是特殊处理，提出来再计算的：

$$\begin{aligned} & 001 - 011 \ & = 001 + (111) \ & = - |11 - 01| \ & = - |10| \ & = -10 \ & = 110 \ \end{aligned}$$

上面这种编码方式我们取一个名字，就叫 原码。

加法和减法以及符号都搞定了，不过我们需要实现一个减法器才能计算，而且处理符号也比较麻烦，有没有可能用加法实现减法，当然可以！

模和同余

数论中的重要概念。给定一个正整数，如果两个整数a和b，满足 $a-b$ 能够被 $m$ 整除，即 $\frac{a - b}{m}$ 得到一个整数，

那么就称整数a与b对模m同余，记作 $a \equiv b (mod;m)$。

对模m同余是整数的一个等价关系。

“模”是指一个计量系统的计数范围，超出这个范围后就会产生溢出，溢出的部分会被直接舍去。例如时钟的计量范围是0-11（1-12），模=12

例如图中这样一个线段围成的圆，计数范围是 0 ~ 7 ，模 m = 8。

假如我们现在所处的位置在 1 的位置上，我们要走到 0 这个位置，我们有两种方式

• 退 1 步
• 前进 7 步 (因为模是8，只能表示到 0 ~ 7 ，8 就是 0 ，产生溢出，一个新的轮回开始了)

$1 - 1 = 1 + 7 = 0 \Rightarrow -1 \equiv +7 (mod 8)$

称为+7 是 -1 以 8 为模的补数

也就是说在模为 8 的时候，+7 和 -1 是等价的

同理，假如我们所处 2 的位置上，我们要走到 0 这个位置，也有两种方式：

• 退 2 步
• 前进 6 步

$2-2 = 2 + 6 = 0 \Rightarrow -2 \equiv +6 (mod 8)$

称为+6 是 -2 以 8 为模的补数

也就是说在模为 8 的时候，+6 和 -2 是等价的

由此可见在模确定的情况下，减去一个数可以由加上一个正数替代，所以一个负数可以用一个正数来表示

补数

我们知道在十进制中，如果两个数字的和为 $10^n$ ，那么我们称这两个数互为补数。

例如 1 + 9 = 10 , 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10,  54 + 46 = 100

称 9 是 1 的补数， 8 是  2 的补数, 54 是 46 的补数

那么对应到二进制中，也是一样的，如果两个数的和为 $2^n$ ，我们称这两个数互为补数，叫做 2 的补数(2’s-compelment)

还是以这个图为例子，由上可知我们模为8，如果我们处于 $011_{[2]}$ 的位置，想要到 $000_{[2]}$ 的位置有两种方式

• 退 3 步
• 进 5 步

十进制：

$$\begin{aligned} & 3_{[10]} - 3_{[10]} \ & = 3_{[10]} + 5_{[10]} \ & = 0_{[10]} \ & \Rightarrow - 3_{[2]} \equiv + 5_{[2]} (mod 8) \ \end{aligned}$$

二进制：

$$\begin{aligned} & 011_{[2]} - 011_{[2]} \ & = 011_{[2]} + 101_{[2]} \ & = 000_{[2]} \ & \Rightarrow - 011_{[2]} \equiv + 101_{[2]} (mod 8) \end{aligned}$$

我们说，$+ 101_{[2]}$** 是  $- 011_{[2]}$ 以 8 为模的补数**

于是我们得出一个结论：

• 一个负数可用其正补数来代替，而这个正补数可以用模加上负数本身来得到。
• 一个正数和一个负数互为补数时，两数的绝对值之和为模

由上面的推导我们知道:

$-1 \equiv +7 (mod 8)$

$-2 \equiv +6 (mod 8)$

$-3 \equiv + 5 (mod 8)$

$-4 \equiv +4 (mod 8)$

0 具有特殊性，如果我们处于0 的位置，想要到0 的位置有两种方式：

• 退 0 步，进 0 步。也就是不动
• 进 8 步

$-0 \equiv +8 (mod 8)\Leftrightarrow 0 \equiv 0 (mod 8)$

当然在 模为 8 的计数范围内，我们也没法表示 8 这个数字，8 等于 0，于是就有：

$-0 \equiv +8 (mod 8)\Leftrightarrow +0 \equiv +8 (mod 8)\Leftrightarrow -0 \equiv +0 (mod 8)$

既然 +0 和 -0 等价，就都用0来表示了，消除了 +0 和 -0 的歧义，完善一下我们的图：

根据上面的结论和推导我们又得出一张表：

十进制【原码】	二进制【补】	十进制【补】	二进制【原码】
+0	000	0	000
+1	001	1	001
+2	010	2	010
+3	011	3	011
-4	100	4
-3	101	5	111
-2	110	6	110
-1	111	7	101

关于 4 到底是 + 4 还是 -4 ，其实从补数角度来说都可以，不影响计算结果。 但是我们人为约定，二进制最高位表示符号，为了统一，所以 4 表示 - 4

而且这个和权重有关系后面会讲到

现在我们的可计数范围变成了$-4\sim+3$**，即 **$-2^n \sim 2^n -1(n = 3)$

看起来不错，这样貌似我们就能实现用加法来计算减法了，验证一下

还是以下面的式子为例：

$1 - 3 = 1 + (-3)$

$001_{[2补]} + 101_{[2补]} = 110_{[2补]} = 6_{[10补]} \equiv -2_{[10原]}(mod 8)$

此时可以发现，用加法实现减法的操作，而且我们没有约定什么最高位为符号位，只是用一个正数来表示一个对应的负数而已，比如：5 表示 -3，6 表示 -2

我们需要注意，用补数计算的结果也是补数

上面的这种编码方式取个名字吧，补数补数，干脆就叫做 补码

关于反码

反码这个东西就是反计算机的，人类为了计算过程不反人类搞了这么一个中间产物，因为在人类计算原码到补码的过程中，发现的一个神奇的现象：

• 一个负数的补码正好是其绝对值的原码各位取反再加一
• 一个正数的补码正好就是其本身

比如 - 3 的补码是 101 ，计算过程是用模减去-3的绝对值，或者用模， mod - |-3|，我们例子中的模是 8 （即二进制的： 1000），所以 - 3 的补码：8 - 3 = 5

$1000_{[原]} - |111_{[原]}| = 1000_{[原]} - 011_{[原]} = 101_{[补]}$

1000 - 011 而我们最多只能表示 3 位，无法表示1000 ，所以用 111 + 1 表示，则

$1000_{[原]} - |111_{[原]}| = 111_{[原]} - 011_{[原]} + 1_{[原]}$

计算过程就是所谓的负数的补码等于其原码除符号位不变，其余各位取反 + 1 ，而各位取反的结果就叫做反码(1’s compelment)。所以都是碰巧而已，对应到其他进制的补码可就不是取反+1了，后面会讲到。

关于补码

补码其实就是一种编码方式，好处在于可以使用加法来实现减法的操作，和原码、反码没啥太大的关系，仅仅就是一种编码，硬要说有啥关系，那就是我们人类计算过程需要用原码和补码来方便我们人类的计算和识别。其实计算方式还有另外一种计算补码的方式

因为我们约定了最高位表示符号，那么我们就相当于给其赋予了负权重

例如:

$111_{[2]} = -1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -4 + 2 + 1 = -1$

$110_{[2]} = -1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = -4 + 2 + 0 = -2$

$101_{[2]} = -1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = -4 + 0 + 1 = -3$

$100_{[2]} = -1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = -4 + 0 + 0 = -4$

$010_{[2]} = -0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -0 + 2 + 0 = 2$

$011_{[2]} = -0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -0 + 2 + 1 = 3$

扩展一下10进制补码

二进制中，我们可以推导出：

$2^n -X = Y \Rightarrow -X \equiv Y (mod ; 2^n)$

称为 2’s-compelment。其实扩展到任意数字N，关于其$N^w$的补数  一样适用，可以叫做 N’s-compelment， 即：

$N^w -X = Y \Rightarrow -X \equiv Y (mod ; N^w)$

现在假如我们的世界陷入了只能计算1位数加法的混沌之中，1 + 9 = 10 ，2 + 8 = 10 这种，会产生溢出等于 0 。 而 4+7 = 11 这种，会产生溢出等于1。

现在我们只能使用$0\sim9$这几个数字了，且失去了正号和负号。（对应计算机的二进制世界，只有0和1，没有正负符号，而且会产生溢出）。 那么我们如何表示负数以及计算减法呢

在这个世界中，我们知道以下规则：

• 模是 10
• 一个负数可以由一个正数来表示(模确定的情况下，其的正补数)
• 减去一个正数等于加上这个数的相反数（负数）

由于没有了负号，于是聪明的我们决定将$0\sim9$十个数字分成两组，一半表示正，一半表示负。

不过这样我们能表示的范围就变小了，变成了 **$-5\sim4$，超过这个范围的数我们没法再表示

规则1：模是 10

规则2：一个负数可以由一个正数来表示

由：

$10^1 -X = Y \Rightarrow -X \equiv Y (mod ; 10^1)$

那么我们可以知道 ：

$10 - 1 = 9 \equiv-1(mod;10)$

$10 - 2 = 8 \equiv-2(mod;10)$

$10 - 3 = 7 \equiv-3(mod;10)$

$10 - 4 = 6 \equiv-4(mod;10)$

$10 - 5 = 5 \equiv-5(mod;10)$

5 表示+5 还是 -5， 完全是我们人为约定的，就像前面二进制中 100 表示 - 4 一样，那只是个计数的符号而已

我们称这种新的计数方称之为 10 的补数(10’s-compelment)，或者直接叫做补码，于是我们可以得出一张对应的关系表：

十进制补码	十进制原码
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	-5
6	-4
7	-3
8	-2
9	-1

我们可以用补码来实现计算如下式子 ： $3 - 4 = 3 +(-4)$:

3 的补码是 3， -4 的补码是 6。

$3_{[原]} + (- 4_{[原]}) = 3_{[补]} + 6_{[补]} = 9_{[补]} = -1_{[原]}$

补码，原来如此！